Probabilidad

 

Los fenómenos que se distribuyen según la ley son dicotómicos. Es decir, caben únicamente dos valores posibles. Este es el caso del lanzamiento de una moneda, cuyo resultado puede ser cara o cruz. En general, se aplica a todas aquellas variables que se presenten dos valores, uno de los cuales suele catalogarse como éxito y el otro como fracaso. La Ley Binomial suministra la probabilidad de que ocurran X éxitos en N observaciones. Como se puede ver es una distribución de probabilidad. La función de distribución binomial probabilidad de que se observen X o menos éxitos en una serie de mediciones u observaciones. Un ejemplo muy claro es la variable sexo del recién nacido.

Este modelo puede considerar un conjunto de experimentos aleatorios repetidos e independientes de Bernoulli y está referido a una secuencia de eventos que tienen las siguientes propiedades:

 

1- Un experimento es repetido varias veces, siendo sus resultados independientes.

2-   Los resultados de cada experimento se pueden clasificar en dos categorías mutuamente excluyentes, llamadas éxito y fracaso.

3-  Las probabilidades de éxito y fracaso en una sola prueba, designadas respectivamente por P y Q (Q =  1- P), son invariables en todas las pruebas o experimentos.

4-    En cualquier experimento el centro de interés estriba en si los resultados ocurren o no.

5-     El resultado se realiza en las mismas condiciones en número fijo de pruebas “n”.

 

Una variable aleatoria que se genere bajo estas condiciones, es llamada binomial discreta y posee “n + 1 “resultados posibles.

La función de probabilidad, es la propiedad de obtener k éxitos en “n” pruebas independientes de un experimento de “p” como la probabilidad de “éxito” en cada prueba.

 

Observaciones:

 

1- Sin considerar el valor de n, cuando P = 0,5, la distribución es simétrica.

2- Si P > 0,5 la distribución es Asimétrica Negativa.

3- Si P < 0,5 la distribución es Asimétrica Positiva.

4- La distribución Binomial se puede aplicar cuando la muestra proviene de una población finita o cuando es extraída de una población con reemplazamiento.

 

El modelo Binomial: se deriva su nombre del hecho que es un termino de la expresión binomial de   (P + Q) n  =

P n + ( n/1) P n -1 . Q + ( n/2) P n- 2 . Q2  +......... Q n

Su expresión matemática es: 

 

             P (k, n, p) = C kn . P k  Q n - 1

De donde:

k = es la probabilidad de éxitos esperados.

n = es la muestra seleccionada.

P = es la probabilidad de éxitos.

Q = es la probabilidad de no éxitos o fracaso.

C = es el numero combinatorio.

 

                        Parámetros de una distribución binomial:

Media = m =  n. p

Varianza = d2  =  n. p. q

Desviación típica = d = √ n. p. q

 

Desarrollo del Binomio (P + Q) n:

 

1- El primer coeficiente es 1.

2- El segundo coeficiente es n.

3- El penúltimo coeficiente es n.

4- El último coeficiente es 1.

5- El exponente de P inicia en n y decrece hasta 1.

6- El exponente de Q inicia en 1 y asciende hasta n.

7- Siempre el primer termino es P n  y el ultimo termino es Q n.

8.- Los coeficientes de los términos intermedios se calculan así:

 

     Se multiplica el coeficiente del segundo término por el exponente de P de ese mismo termino y el resultado se divide entre el exponente de Q del término siguiente, luego se continua sucesivamente con los términos restantes.

 

Se sabe que en una determinada familia, el 50% de los nacimientos registrados son varones. Si se elige de los registros una muestra de 4, defina la variable que le permita calcular las probabilidades que a continuación se piden:

  1. Al menos un niño
  2. Al menos un niño y una niña
  3. Ningún niño

resolucion.

 Datos:

n= 4

p= 0.5 niños (representa el éxito)

q= 0.5 niñas (representa el fracaso)

4p3q1= 0,25

6p2q2= 0,375

4p1q3= 0,25

1q4= 0,0625

 

  1. La probabilidad de obtener al menos un niño es de 0.9375
  2. La probabilidad de tener a l menos un niño y una niña es de 0,9375 y 0,9375
  3. La probabilidad de que en la familia no nazca ningún niño es de 0,0625